【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,BD=8cm.点M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为t秒(0<t≤5).线段CM的长度记作y甲,线段BP的长度记作y乙,y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示.
(1)由图2可知,点M的运动速度是每秒 cm;当t= 秒时,四边形PQCM是平行四边形?在图2中反映这一情况的点是 (并写出此点的坐标);
(2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;
(3)连接PC,是否存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)2,,E(,);(2)y=t2﹣8t+40;(3)存在,t=s时,点M在线段PC的垂直平分线上.
【解析】
(1)先由图2判断出点M的速度为2cm/s,PQ的运动速度为1cm/s,再由四边形PQCM为平行四边形,根据平行四边形的性质得到对边平行,进而得到AP=AM,列出关于t的方程,求出方程的解得到满足题意t的值;
(2)根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC,根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形,即BP=PQ=t,再用含t的代数式就可以表示出BF,进而得到梯形的高PE=DF=8-t,又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t,所以梯形的下底CM=10-2t.最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式;
(3)假设存在,则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC,过点M作MH垂直AB,由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB,由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长,再由AP的长减AH的长表示出PH的长,从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方,再由AC的长减AM的长表示出MC的平方,根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值.
(1)由图2得,点M的运动速度为2cm/s,PQ的运动速度为1cm/s,
∵四边形PQCM是平行四边形,则PM∥QC,
∴AP:AB=AM:AC,
∵AB=AC,
∴AP=AM,即10﹣t=2t,
解得:t=,
∴当t=时,四边形PQCM是平行四边形,此时,图2中反映这一情况的点是E(,)
故答案为:2,,E(,).
(2)∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴△PBQ为等腰三角形,PQ=PB=t,
∴,即
解得:BF=t,
∴FD=BD﹣BF=8﹣t,
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,
∴y=(PQ+MC)FD=(t+10﹣2t)(8﹣t)=t2﹣8t+40.
(3)假设存在某一时刻t,使得M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC,
过M作MH⊥AB,交AB与H,如图所示:
∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,
∴△AHM∽△ADB,
∴
又∵AD=6,
∴
∴HM=t,AH=t,
∴HP=10﹣t﹣t=10﹣t,
在Rt△HMP中,MP2=(t)2+(10﹣t)2=t2﹣44t+100,
又∵MC2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,
∵MP2=MC2,
∴t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2,
解得 t1=,t2=0(舍去),
∴t=s时,点M在线段PC的垂直平分线上.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D,过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F,DG⊥AB于点G,连接BD.
(1)求证:△AED∽△DGB;
(2)求证:EF是⊙O的切线;
(3)若,OA=4,求劣弧的长度(结果保留π).
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【题目】如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;
(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=,求圆O的直径的长度.
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【题目】我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将
从中挑选的50件参赛作品的成绩(单位:分)统计如下:
等级 | 成绩(用m表示) | 频数 | 频率 |
A | 90≤ m ≤100 | x | 0.08 |
B | 80≤ m <90 | 34 | y |
C | m <80 | 12 | 0.24 |
合计 | 50 | 1 |
请根据上表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中的值为_____________,的值为______________;(直接填写结果)
(2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1、A2、A3……表示.现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,则恰好抽到学生A1和A2的概率为____________.(直接填写结果)
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,O是对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交DA,BC的延长线于E,F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AE=BC,试探究线段OC与线段DF之间的关系,并说明理由.
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【题目】小明、小亮和小强三人准备下象棋,他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋,规则如下:三人手中各持有一枚质地均匀的硬币,他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合,落地后,三枚硬币中,恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋;若三枚硬币均为正面向上或反面向上,则不能确定其中两人先下棋.
(1)请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图;
(2)求出一个回合能确定两人下棋的概率.
解:(1)树状图为:
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【题目】某种型号的温控水箱的工作过程是:接通电源后,在初始温度20℃下加热水箱中的水;当水温达到设定温度80℃时,加热停止;此后水箱中的水温开始逐渐下降,当下降到20℃时,再次自动加热水箱中的水至80℃时,加热停止;当水箱中的水温下降到20℃时,再次自动加热,…,按照以上方式不断循环.
小明根据学习函数的经验,对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究.发现水温y是时间x的函数,其中y(单位:℃)表示水箱中水的温度.x(单位:min)表示接通电源后的时间.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x(单位:min) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 16 | 18 | 20 | 21 | 24 | 32 | … |
水箱中水的温度y(单位:℃) | 20 | 35 | 50 | 65 | 80 | 64 | 40 | 32 | 20 | m | 80 | 64 | 40 | 20 | … |
m的值为 ;
(2)①当0≤x≤4时,写出一个符合表中数据的函数解析式 ;
当4<x≤16时,写出一个符合表中数据的函数解析式 ;
②如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了上表中部分数据对应的点,根据描出的点,画出当0≤x≤32时,温度y随时间x变化的函数图象:
(3)如果水温y随时间x的变化规律不变,预测水温第8次达到40℃时,距离接通电源 min.
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【题目】如图,是的边的垂直平分线,垂足为点,与的延长线交于点,连接,,,与交于点,则下列结论:
①四边形是菱形;
②;
③;
④四边形
以上四个结论中所有正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.②④D.①②④
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知格点四边形(顶点是网格线的交点)和格点.
(1)将四边形先向左平移4个单位长度,再向下平移6个单位长度,得到四边形,画出平移后的四边形(点,,,的对应点分别为点,,,);
(2)将四边形绕点逆时针旋转,得到四边形,画出旋转后的四边形(点,,,的对应点分别为点,,,);
(3)填空:点到的距离为________.
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