Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．

(1)求证：△AED∽△DGB；

(2)求证：EF是⊙O的切线；

(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）先证∠ACB=∠ADB=90°，再由平行得，由垂直得，再根据角度转换得，即可证明△AED∽△DGB；

（2）连接，证明，即可证明，从而解决本题；

（3）先证∽，得到，再根据OA=4，然后求出，从而求出弧长.

（1）∵AB为直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵，

∴，

∵DG⊥AB，

∴，

∴

∵，

∴

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠DAG，

∴

∴∽

（2）连接，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴EF是⊙O的切线；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，

∴∽，

∴，

∵OA=4，

∴AB=8，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴.