Question

【题目】如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD.

(1)求证：△ADM∽△AOB.

(2)如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以点为顶点，且过点M的抛物线的函数表达式．

(3)在(2)的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝－2；（3）点P的坐标为(－5，2)，(－4，10)．

【解析】

（1）依题意得出MD⊥AB继而推出∠MDA＝∠AOB，∠MAD＝∠BAO，然后可证明；

（2）设A（0，m），由直线y＝2x＋12可知，OA＝12，OB＝6，则AM＝12m，DM＝2，利用勾股定理得AB＝6，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，设抛物线顶点式，将M点坐标代入，可求抛物线解析式；

（3）存在，△AOB中，OA：OB＝12：6＝2：1，则所求直角三角形两直角边的比为2：1，根据△PAM中，顶点P，A，M分别为直角顶点，根据抛物线解析式分别求符合条件的点P的坐标

(1)∵AB是⊙M的切线，D是切点，

∴MD⊥AB，

∴∠MDA＝90°＝∠AOB.

又∵∠MAD＝∠BAO，

∴△ADM∽△AOB.

(2)设M(0，m)，由直线y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，则AM＝12－m，而DM＝2，

在Rt△AOB中，AB＝.，

∵△ADM∽△AOB，

∴，

即，

解得m＝2，

∴M(0，2)．

设顶点坐标为的抛物线的函数表达式为y＝a2＋，将点M的坐标代入，得a2＋＝2，解得a＝－2，

∴抛物线的函数表达式为y＝－22＋；

(3)存在．①当顶点M为直角顶点时，M，P两点关于抛物线的对称轴直线x＝－对称，此时MP＝5，AM＝12－2＝10，AMMP＝2：，符合题意，此时点P的坐标为(－5，2)；

②当顶点A为直角顶点时，点P的纵坐标为12，代入抛物线表达式，得－22＋＝12，解得x＝－，此时AP＝，AM＝10，不符合题意；

③当顶点P′为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P′的坐标为(n，－2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，则－2n－n＝10，解得n＝－4；当x＝－4时，y＝－2×＋＝10，－2n＋2＝10，符合题意；

若P′(－2m，m＋2)，则4m+m＝10，解得m－2，当x＝－2m＝－4时，y＝－2×＋＝10，m＋2＝4，不符合题意．

综上所述，符合条件的点P的坐标为(－5，2)，(－4，10)．