Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．若∠BAC=30°，则

FC

HD

的值为

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：设BC=1，则AC=2BC=2，AB=

3

BC=

3

，在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

3

2

，AD=

3

BD=

3

2

，求出AB=AE=

3

，过D作DM∥AB，交AF延长线于M，求出AD=DM=

3

2

，证△ABH∽△MDH，推出

AB

DM

=

BH

DH

，求出DH，同理可得：

AB

AC

=

BF

CF

，求出CF，即可求出答案．

解答：解：∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABD=60°，
设BC=1，则AC=2BC=2，AB=

3

BC=

3

，
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

3

2

，AD=

3

BD=

3

2

，
∵∠BDC=90°，∠ACB=90°-30°=60°，
∴∠DBC=90°-60°=30°，BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴AB=AE=

3

，
∵AF⊥BE，
∴AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
过D作DM∥AB，交AF延长线于M，
则∠M=∠BAF=∠CAF，
∴AD=DM=

3

2

，
∵DM∥AB，
∴△ABH∽△MDH，
∴

AB

DM

=

BH

DH

，
∴

3

3 2

=

3 2 -DH

DH

，
∴DH=3-

3 3

2

，
同理可得：

AB

AC

=

BF

CF

，
∴

3

2

=

1-CF

CF

，
∴CF=4-2

3

，
∴

FC

HD

=

4-2 3

3- 3 3 2

=

4

3

，
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，有一定的难度．