Question

10．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=9，M是DC上一点，DM=4，N是AC上的一个动点，则△DMN的周长的最小值是$\sqrt{34}$+4．

Answer 1

分析 作EM⊥AC交AB于E，交AC于O，先证得E是M关于AC的对称点，连接ED，交AC于N，此时DN+MN有最小值，最小值为DE，作EF⊥CD于F，然后根据勾股定理求得ED，根据△DMN的周长公式求得即可．

解答 解：作EM⊥AC交AB于E，交AC于O，
∵在矩形ABCD中，AD=3，AB=9，
∴DC=AB=9，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵DM=4，
∴MC=5，
∵∠MOC=∠ADC=90°，∠MCO=∠ACD，
∴△MOC∽△ACD，
∴$\frac{OC}{DC}$=$\frac{CM}{AC}$，即$\frac{OC}{9}$=$\frac{5}{3\sqrt{10}}$，
∴OC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OC=OA，
在△AOE和△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCM}\\{∠AOE=∠COM}\\{OA=OC}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COM（AAS），
∴OE=OM，AE=CM=5，
∴E是M关于AC的对称点，
连接ED，交AC于N，此时DN+MN有最小值，最小值为DE，作EF⊥CD于F，
∴DF=AE=5，EF=3，
∴ED=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∴△DMN的周长的最小值=MN+ND+DM=DE+DM=$\sqrt{34}$+4．
故答案$\sqrt{34}$+4．

点评 本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质求得解．