Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，D（1，）或（2，）或（5，）（3）BE=

【解析】

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；

（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），

∴，解得：，

∴抛物线解析式为：；

（2）由题意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，

∵S△ABC=S△ABD，

∴S△ABD=，

设D（x，y），

∴，

解得：；

当时，，

解得：或，

∴点D的坐标为：（1，3）或（2，3）；

当时，，

解得：或（舍去），

∴点D的坐标为：（5，-3）；

综合上述，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴,，

∴，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，即，

解得：，

∴点F为（2，6），且B为（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则

，解得，

∴直线BE解析式为：；

联立直线BE和抛物线解析式可得：

，

解得：或，

∴点E坐标为：，

∴.