Question

【题目】点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD＝2BD.

(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD

(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE=3BD

【解析】

（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明

可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；

（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明可得 由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.

（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.

则∠BDE=∠EMD.

∵∠BDE+∠ACB=180°，

∴∠EMB=∠ACB.

∵DE=AC,

∴EM=AC

在△EMB和△ACB中，

∴EB=AB

∵AD=2BD，

∴AB=AD-BD=BD.

∴BE=BD；

(2) BE=3BD，理由如下：在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.

则∠MDE=∠EMD.

∵DE=AC,

∴EM=AC.

∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，

∴∠EMD=∠ACB

∵∠EBM=∠ABC,

∵AD=2BD,

∴AB=AD+BD=3BD

.

∴BE=3BD