Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作等边三角形ABE与等边三角形ACD．

（1）如图①，求∠BAD的大小；

（2）如图②，连接DE交AB于点F．求证：EF=DF．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠CAD=60°，由∠BAC=30°，根据角的和差关系，于是得到结论；

（2）作EG∥AD，交AB于点G，由等边三角形的∠DAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAD=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠EGF=90°，再根据∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到∠EBG=60°，从而得到两角相等，再由EB=AB，利用“AAS”证得△EGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到EG=AC，再由△ADC为等边三角形得到AD=AC，等量代换可得EG=AD，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“AAS”证得△EGF≌△DAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．

【解答】（1）解：∵△ACD是等边三角形，

∴∠CAD=60°，

∵∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°；

（2）证明：如图②，作EG∥AD，交AB于点G，

由∠DAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAD=∠DAC+∠CAB=90°，

∴∠EGF=∠FAD=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABE为等边三角形，∠EBG=60°，EB=AB，

∴∠EBG=∠ABC=60°，

在△EGB和△ACB中，

，

∴△EGB≌△ACB（AAS），

∴EG=AC，

又∵△ADC为等边三角形，

∴AD=AC，

∴EG=AD，

在△EGF和△DAF中，

，

∴△EGF≌△DAF（AAS），

∴EF=DF，即F为DE中点．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．第二问作出辅助线构造全等三角形是本问的突破点．