Question

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：

①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；

②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；

③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；

④当m≠0时，函数图象经过同一个点．

其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．①②④     C．①③④     D．②④

Answer 1

B【考点】二次函数的性质．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】①当m=﹣3时，根据函数式的对应值，可直接求顶点坐标；②当m＞0时，直接求出图象与x轴两交点坐标，再求函数图象截x轴所得的线段长度，进行判断；③当m＜0时，根据对称轴公式，进行判断；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．

【解答】解：根据定义可得函数y=2mx²+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），

①当m=﹣3时，函数解析式为y=﹣6x²+4x+2，

∴=﹣=， ==，

∴顶点坐标是（，），正确；

②函数y=2mx²+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣，0），

当m＞0时，1﹣（﹣）=+＞，正确；

③当m＜0时，函数y=2mx²+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴x=﹣＞，

∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误；

④y=2mx²+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=m（2x²﹣x﹣1）+x﹣1，若使函数图象恒经过一点，m≠0时，应使2x²﹣x﹣1=0，可得x₁=1，x₂=﹣，当x=1时，y=0，当x=﹣时，y=﹣，则函数一定经过点（1，0）和（﹣，﹣），正确．

故选B．

【点评】公式法：y=ax²+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．