Question

【题目】如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．

（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+8．

∵经过点A（8，0），

∴64a+8=0，解得a=﹣ ．

抛物线的解析式为：y=﹣ x2+8

（2）解：PD与PF的差是定值．

理由如下：设P（a，﹣ a2+8），则F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD= = = a2+2，PF=8﹣（ ）= ．

∴PD﹣PF=2．

（3）解：①当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，

∵PD﹣PF=2，

∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，

∵将x=4代入y=﹣ x2+8，得y=6，

∴P（4，6），此时△PDE的周长最小．

②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．

设P（a，﹣ a2+8）

∴PH=﹣ a2+8，EH=a﹣4，OH=a

S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE= a（﹣ a2+8+6）﹣ （ +8）（a﹣4）﹣ ×4×6=﹣ a2+3a+4=﹣ （a﹣6）2+13．

∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），

∴0≤a≤8，

∴当a=6时，S△DPE取最大值为13．当a=0时，S△DPE取最小值为4．即4≤S△DPE≤13，其中，当S△DPE=12时，有两个点P．

∴共有11个令S△DPE为整数的点．

【解析】（1）此抛物线的顶点在y轴上，因此设此抛物线解析式为y=ax2+k，将点A、点B的坐标分别代入，就可求出函数解析式。
（2）抓住PF⊥直线y=8，设出点P、点F的坐标，用含a的代数式分别表示出PD、PF的长，再求出它们的差即可。
（3）①要使△PDE的周长最小，而DE的长是一个定值，关键是DP+PE的值要最小，由（2）可知PD=PF+2，即PE+PD=PE+PF+2，根据两点之间线段最短，P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，代入函数解析式即可求出点P的坐标。②过点P做PH⊥x轴，垂足为H，设出点P的坐标，分别表示出PH、EH、的长，再求出S△DPE与a的函数关系式，根据点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），求出a的取值范围，继而求出S△DPE的取值范围，即可求出结果。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．