【题目】(1)(问题情境)小明遇到这样一个问题:
如图①,已知是等边三角形,点为边上中点,,交等边三角形外角平分线所在的直线于点,试探究与的数量关系.
小明发现:过作,交于,构造全等三角形,经推理论证问题得到解决.请直接写出与的数量关系,并说明理由.
(2)(类比探究)
如图②,当是线段上(除外)任意一点时(其他条件不变)试猜想与的数量关系并证明你的结论.
(3)(拓展应用)
当是线段上延长线上,且满足(其他条件不变)时,请判断的形状,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析;(2),理由见解析;(3)是等边三角形,理由见解析.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得,然后根据平行线的性质可得,从而证出是等边三角形,即可证出,然后证出、,最后利用ASA即可证出,从而得出结论;
(2)过作交于,同理可知是等边三角形,从而证出,再证出和,利用ASA即可证出,从而得出结论;
(3)根据等三角形的性质和已知条件可得,再根据三线合一可得垂直平分,从而得出,再根据等边三角形的判定即可证出结论.
解:(1),理由如下:
∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
又,
∴,
∵是外角平分线,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∴在与中,
∴,
∴;
(2)
证明:过作交于,
∵是等边三角形,
∴是等边三角形,
∴BF=BD
∴
∵,,
∴
∵是外角平分线,
∴,
∴,
∴
在与中,
∴,
∴;
(3)是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵是等边三角形外角平分线.
∴垂直平分,
∴,
∵,
∴是等边三角形.
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【题目】如图,抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论.
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【题目】如图,在中,,D是AB上的点,过点D作交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,,则下列结论正确的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】为了提高服务质量,某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升,已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元,如果提升相同数量的套房,甲种套房费用为625万元,乙种套房费用为700万元.
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元?
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套,市政府筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升,市政府对两种套房的提升有几种方案?哪一种方案的提升费用最少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤SBDE:S△ACD=BD:AC,其中正确的个数( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,交AB延长线于点F.
(1)求证:BD=CD;
(2)求证:DC2=CEAC;
(3)当AC=5,BC=6时,求DF的长.
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【题目】如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达.(结果保留根号)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2BO,AC=6,点B的坐标为(1,0),抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求点A的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE.
①求点P的坐标;
②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商家用1200元购进了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元购进了第二批这种T恤,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了5元.
(1)该商家购进的第一批T恤是多少件?
(2)若两批T恤按相同的标价销售,最后剩下20件按八折优惠卖出,如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%(不考虑其它因素),那么每件T恤的标价至少是多少元?
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