Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．

（1）求证：BD=CD；

（2）求证：DC2=CEAC；

（3）当AC=5，BC=6时，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DF=．

【解析】

（1）先判断出AD⊥BC，即可得出结论；

（2）先判断出OD∥AC，进而判断出∠CED=∠ODE，判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；

（3）先求出OD，再求出CD=3，进而求出CE，AE，DE，再判断出，即可得出结论．

（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD；

（2）连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

由（1）知，BD=CD，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∴∠CED=∠ODE=90°=∠ADC，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴，

∴CD2=CEAC；

（3）∵AB=AC=5，

由（1）知，∠ADB=90°，OA=OB，

∴OD=AB=，

由（1）知，CD=BC=3，

由（2）知，CD2=CEAC，

∵AC=5，

∴CE=，

∴AE=AC-CE=5-=，

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=,

由（2）知，OD∥AC，

∴，

∴，

∴DF=．