Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若CE=2，AC=8，阴影部分的面积为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直线ED与⊙O相切，见解析；（3）

【解析】

（1）根据圆周角定理，由，得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE，即可证明CD平分∠ACE；

（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；

（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=4，则CH=HECE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCDS△OCD进行计算即可求得结果．

（1）证明：，

，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴，

，

，

，即CD平分∠ACE；

（2）解：直线ED与⊙O相切，理由如下：

连接OD，

，

，

，

∴OD∥BC，

，

，

直线ED与⊙O相切；

（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，

∴OD=EH，

∵CE=2，AC=8，

∴OD=OC，

则，CH=HECE=2，

在中，，则

∴，

∴阴影部分的面积=S扇形OCDS△OCD

，

故答案为：．