Question

【题目】如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意可得直线OC的解析式为y＝x，设C（a，a），由点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求得C（1，1），求得D的坐标，根据互相垂直的两条直线斜率之积为﹣1，可设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1．由点D和点F关于直线AB对称，得出BF＝DB＝b﹣1，那么B（b，b﹣1），再将F点坐标代入y＝，得到b（b﹣1）＝1，解方程即可求得B的坐标，然后通过三角形相似求得OE，根据OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC即可求得结果．

解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，

∴直线OC的解析式为y＝x，

设C（a，a），

∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴a2＝1，

∴a＝1，

∴C（1，1），

∴D（1，0），

∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1．

∵点B和点F关于直线AB对称，

∴BF＝BD＝b﹣1，

∴F（b，b﹣1），

∵F在反比例函数y＝的图象上，

∴b（b﹣1）＝1，

解得b1＝，b2＝（舍去），

∴B（，0），

∵C（1，1），

∴OD＝CD＝1，

∴OC＝，

易证△ODC∽△OEB，

∴，即，

∴OE＝，

∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝．

故答案为．