Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为dmax，P，Q两点间距离的最小值为dmin，我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）．

（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）．

①点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）=______；

②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）=7，求点P的坐标．

（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6＜d（M，线段AC）＜6+3，直接写出M点横坐标t取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②点P的坐标为（0，1）或（0，-1）；（2）t取值范围是-3＜t＜3．

【解析】

（1）①根据“和距离“的定义计算：OE是两点间距离的最小值，OA是两点间的最大值，相加可得结论；
②分两种情况：P在y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程计算即可得；
（2）分M在线段CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论．

解：（1）①如图1，连接OA，

∵四边形ABCD是正方形，且A（3，3），

∴dmax+dmin=OE+OA=3+3，即d（O，线段AB）=3+3，

故答案为：3+3；

②设P（0，y），

∵d（P，正方形ABCD）=7，

∴dmax+dmin=7，

分两种情况：

∵E（0，3），F（0，-3），且P是线段EF上一个动点，

i）当P在x轴上方时，如图2，连接PC，

∴dmax+dmin=PE+PC=7，

3-y+=7，

解得：y=1，

经检验，y=1是原方程的解，

∴P（0，1），

ii）当P在x轴的下方时，同理可得P（0，-1）；

综上，点P的坐标为（0，1）或（0，-1）；

（2）分两种情况：

①当-3≤t＜3时，如图3，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM，

∵M点横坐标是t，

∴CM=t+3，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴MN=（t+3），

∴d（M，线段AC）=MN+MA=（t+3）+，

②当t≥3时，如图4，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N，

同理MN==（t+3），

∴d（M，线段AC）=MN+CM=（t+3）+t+3，

∵在动点M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大，

∴（t+3）+=6，解得：t=-3，

（t+3）+t+3=6+3，解得：t=3，

∴M点横坐标t取值范围是-3＜t＜3．