Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b²-4ac＞0；②abc＜0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．
请你将正确结论的番号都写出来

 

 （写错一个不得分）．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；由x=-2得4a-2b+c＞0，再把b=-2a代入可得8a+c＞0，于是可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x的另一个交点在（3，0）与（4，0）之间，则x=3时，y＜0，于是可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，所以③正确；
∵抛物线与x的一个交点在（-2，0）与（-1，0）之间，
而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x的另一个交点在（3，0）与（4，0）之间，
∴x=3时，y＜0，
∴9a+32b+c＜0，所以④正确．
故答案为①④⑤．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．