【题目】如图,已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限.随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y= (k<0)上运动,则k的值是 .
【答案】﹣3
【解析】解:∵双曲线y= 关于原点对称, ∴点A与点B关于原点对称.
∴OA=OB.
连接OC,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB.∠BAC=60°.
∴tan∠OAC= = .
∴OC= OA.
过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF.
∴△AEO∽△OFC.
∴ = = .
∵OC= OA,
∴OF= AE,FC= EO.
设点A坐标为(a,b),
∵点A在第一象限,
∴AE=a,OE=b.
∴OF= AE= a,FC= EO= b.
∵点A在双曲线y= 上,
∴ab=1.
∴FCOF= b a=3ab=3,
设点C坐标为(x,y),
∵点C在第四象限,
∴FC=x,OF=﹣y.
∴FCOF=x(﹣y)=﹣xy=3.
∴xy=﹣3.
∵点C在双曲线y= 上,
∴k=xy=﹣3.
所以答案是:﹣3.
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题.
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【题目】如图,已知Rt△ABD中,∠A=90°,将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC,使BC∥AD,过点C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠ABD=30°,BE=3,求弧CD的长.
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【题目】如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点O为斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P,则下列结论:
①图中全等三角形有三对;②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍;③DE2+2CDCE=2OA2;④AD2+BE2=2OPOC.正确的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,抛物线y=x2﹣bx+c过点B(3,0),C(0,﹣3),D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;
(2)点C关于抛物线y=x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点,连接BC,BE,求∠CBE的正切值;
(3)在(2)的条件下,点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点,是否存在点M使△DMB和△BCE相似?若存在,求点M坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点Q从点A出发,沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点B出发,沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5),以P为圆心,PB长为半径的⊙P与BD、AB的另一个交点分别为E、F,连结EF、QE.
(1)填空:FB=(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,点Q与点F相遇?
(3)当线段QE与⊙P有两个公共点时,求t的取值范围.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合),连结AP,过点B作直线AP的垂线,垂足为H,连结DH.若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是 .
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【题目】我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A:实心球,B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)将两个统计图补充完整;
(3)若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生,2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(﹣4,0),B(0,3),动点P从点O出发,沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点Q从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,过点P作PC⊥AB于点C,连接PQ,CQ,以PQ,CQ为邻边构造平行四边形PQCD,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点Q在线段OB上时,用含t的代数式表示PC,AC的长;
(2)在运动过程中. ①当点D落在x轴上时,求出满足条件的t的值;
②若点D落在△ABO内部(不包括边界)时,直接写出t的取值范围;
(3)作点Q关于x轴的对称点Q′,连接CQ′,在运动过程中,是否存在某时刻使过A,P,C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.#D.
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【题目】同时点燃甲乙两根蜡烛,蜡烛燃烧剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(min)的关系如图所示.
(1)求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式;
(2)求点P的坐标,并说明其实际意义;
(3)求点燃多长时间,甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍.
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