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【题目】如图,已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限.随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y= (k<0)上运动,则k的值是

【答案】﹣3
【解析】解:∵双曲线y= 关于原点对称, ∴点A与点B关于原点对称.
∴OA=OB.
连接OC,如图所示.

∵△ABC是等边三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB.∠BAC=60°.
∴tan∠OAC= =
∴OC= OA.
过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF.
∴△AEO∽△OFC.
= =
∵OC= OA,
∴OF= AE,FC= EO.
设点A坐标为(a,b),
∵点A在第一象限,
∴AE=a,OE=b.
∴OF= AE= a,FC= EO= b.
∵点A在双曲线y= 上,
∴ab=1.
∴FCOF= b a=3ab=3,
设点C坐标为(x,y),
∵点C在第四象限,
∴FC=x,OF=﹣y.
∴FCOF=x(﹣y)=﹣xy=3.
∴xy=﹣3.
∵点C在双曲线y= 上,
∴k=xy=﹣3.
所以答案是:﹣3.
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题.

练习册系列答案
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;
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(1)填空:FB=(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,点Q与点F相遇?
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【题目】我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A:实心球,B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)将两个统计图补充完整;
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(1)当点Q在线段OB上时,用含t的代数式表示PC,AC的长;
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②若点D落在△ABO内部(不包括边界)时,直接写出t的取值范围;
(3)作点Q关于x轴的对称点Q′,连接CQ′,在运动过程中,是否存在某时刻使过A,P,C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.#D.

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