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【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DEABAC于点FCEAM,连接AE

1)如图1,当点DM重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;

2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

3)如图3,延长BDAC于点H,若BHAC,且BHAM,求∠CAM的度数.

【答案】1)见解析;(2)结论成立,理由见解析;(3)∠CAM30°

【解析】

1)根据DEABCEAM,同位角相等,又BDDC,可证得△ABD≌△EDC,继而证得结论;

2)作MGDECEG,易证四边形DMGE是平行四边形,利用(1)的方法证得△ABD≌△EDC,继而证得结论;

3)取线段CH的中点I,连接MI,证得MIBHAMMIAC,易证得结论.

1)∵DEAB

∴∠EDC=∠ABM

CEAM

∴∠ECD=∠ADB

AM是△ABC的中线,且DM重合,

BDDC

∴△ABD≌△EDC

ABED

ABED

∴四边形ABDE是平行四边形;

2)结论成立,理由如下:

如图2

过点MMGDECEG

CEAM

∴四边形DMGE是平行四边形,

EDGM,且EDGM

MGDEAB

∴∠GMC=∠ABM

CGAM

∴∠GCM=∠AMB

AM是△ABC的中线,

BMMC

∴△ABM≌△GMC

ABGMABGM

ABDEABDE

∴四边形ABDE是平行四边形;

3)如图3取线段CH的中点I,连接MI

BMMC

MI是△BHC的中位线,

MIBHMIBH

BHAC,且BHAM

MIAMMIAC

∴∠CAM30°

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