【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连接AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM,求∠CAM的度数.
【答案】(1)见解析;(2)结论成立,理由见解析;(3)∠CAM=30°.
【解析】
(1)根据DE∥AB,CE∥AM,同位角相等,又BD=DC,可证得△ABD≌△EDC,继而证得结论;
(2)作MG∥DE交CE于G,易证四边形DMGE是平行四边形,利用(1)的方法证得△ABD≌△EDC,继而证得结论;
(3)取线段CH的中点I,连接MI,证得MI=BH=AM,MI⊥AC,易证得结论.
(1)∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABM,
∵CE∥AM,
∴∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC,
∴AB=ED,
∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)结论成立,理由如下:
如图2,
过点M作MG∥DE交CE于G,
∵CE∥AM,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴ED=GM,且ED∥GM,
∵MG∥DE∥AB
∴∠GMC=∠ABM,
∵CG∥AM,
∴∠GCM=∠AMB,
∵AM是△ABC的中线,
∴BM=MC,
∴△ABM≌△GMC,
∴AB=GM,AB∥GM,
∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(3)如图3取线段CH的中点I,连接MI,
∵BM=MC,
∴MI是△BHC的中位线,
∴MI∥BH,MI=BH,
∵BH⊥AC,且BH=AM,
∴MI=AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°.
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【题目】 为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm,60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2.
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离.
(结果精确到1 cm.参考数据: sin75°="0.966," cos75°=0.259,tan75°=3.732)
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【题目】校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道上确定点D,使CD与垂直,测得CD的长等于21米,在上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=300,∠CBD=600.
(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:);
(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,经过B,C两点的直线为.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点M,连接PC,若为直角三角形,求点P的坐标;
(3)当P满足(2)的条件,且点P在直线BC上方的抛物线上时,如图2,将抛物线沿射线BC方向平移,平移后B,P两点的对应点分别为,,取AB的中点E,连接,,试探究是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,等边三角形ABC中,E、F为AC、AB中点,EF延长线交△ABC外接圆于P,则PB:AP的数值为_____(提示:圆内接四边形对角互补)
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CD是△ABC的中线,E是边BC上一动点,将△BED沿ED折叠,点B落在点F处,EF交线段CD于点G,当△DFG是直角三角形时,则CE=__________.
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【题目】全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容,努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分.为了解“学习型家庭”情况,对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查了 个家庭;
(2)将图①中的条形图补充完整;
(3)学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是 度;
(4)若该社区有家庭有3000个,请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭?
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【题目】如图1,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,P、Q同时从B出发,以每秒1个单位长度分别沿B→A→D→C和B→C→D方向运动至相遇时停止.设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平方单位),S与t的函数图象如图2,则下列结论错误的个数有( )
①当t=4秒时,S=;②AD=4;③当4≤t≤8时,S=;④当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积.
A.1B.2C.3D.4
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