【题目】如图,抛物线的图象与x轴交A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点T在第二象限的抛物线上,若其关于原点的对称点也在抛物线上,求点T的坐标;
(3)点M为线段AB上一点(点M不与点A,B重合),过M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过Q作QN⊥x轴于N,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)T(-,2);(3).
【解析】
(1)用待定系数法,即可求出解析式;
(2)设点T坐标,表示出点T关于原点对称的点,代入解析式,求出点T坐标;
(3)设M点横坐标为m,则PM=-m2-2m+3,MN=(-m-1)×2=-2m-2,矩形PMNQ的周长=-2m2-8m+2,将-2m2-8m+2配方,根据二次函数的性质,即可得出m的值,然后求得直线AC的解析式,把x=m代入可以求得E点坐标,从而求得三角形的面积.
解:(1)设解析式y=a(x-1)(x+3)
将C(0,3)代入得a =-1
∴解析式为y=-x2-2x+3
(2)设T(m,-m2-2m+3)
则点T关于原点对称的点K坐标为(-m,m2+2m-3)
将点K代入解析式得
m2+2m-3=-m2+2m+3
∴m2=3
∴m=±
∴m=-
∴T(-,2)
(3)由抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可知,对称轴为直线x=-1,设点M的横坐标为m,则PM=-m2-2m+3,MN=(-m-1)×2=-2m-2,
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=2(-m2-2m+3-2m-2)=-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
∴当m=-2时矩形的周长最大.
∵点A(-3,0),C(0,3),
∴直线AC的函数表达式为y=x+3,
当x=-2时,y=-2+3=1,则点E(-2,1),
∴EM=1,AM=1,
∴S=AMEM=.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=5,点P是AC上的动点,连接BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中,线段CQ长度的最小值是______.
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【题目】抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
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【题目】某学校八、九两个年级各有学生180人,为了解这两个年级学生的体质健康情况,进行了抽样调查,具体过程如下:
收集数据
从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:
八年级 | 78 | 86 | 74 | 81 | 75 | 76 | 87 | 70 | 75 | 90 |
75 | 79 | 81 | 70 | 74 | 80 | 86 | 69 | 83 | 77 | |
九年级 | 93 | 73 | 88 | 81 | 72 | 81 | 94 | 83 | 77 | 83 |
80 | 81 | 70 | 81 | 73 | 78 | 82 | 80 | 70 | 40 |
整理、描述数据
将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据:
成绩(x) | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
八年级人数 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
九年级人数 | 1 | 0 | 0 | 7 | 10 | 2 |
(说明:成绩80分及以上为体质健康优秀,70~79分为体质健康良好,60~69分为体质健康合格,60分以下为体质健康不合格)
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
八年级 | 78.3 | 77.5 | 75 | 33.6 |
九年级 | 78 | 80.5 | a | 52.1 |
(1)表格中a的值为______;
(2)请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少?
(3)根据以上信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些?请说明理由.(请从两个不同的角度说明推断的合理性)
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【题目】如图抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B,与x轴交于另一点C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求S△ACD的面积.
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】如图,已知△ABC,点D、E分别在边AC、AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A. AE=AD;B. BD=CE;C. ∠ECB=∠DBC ;D. ∠BEC=∠CDB.
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【题目】某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询,如果按照标价购买两种耗材,当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时,购买茶艺耗材共需要18000元,购买陶艺耗材共需要12000元,且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.
(1)求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元?
(2)学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知,因为周年庆,茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元,陶艺素材的单价在标价的基础降价150元,该校决定增加采购数量,实际购买茶艺素材和陶艺素材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和,结果在结算时发现,两种耗材的总价相等,求的值.
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