【题目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1,x2,x2+x1=﹣,x2.x1=.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2),若abc=4,且a≥b≥c,则|a|+|b|+|c|的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
易知:b+c=2-a,bc=,可将b、c看做是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的两实根,那么可根据△≥0,求得a的大致取值范围为a≥4.由于abc=4>0,且a≥b≥c,则说明:①a、b、c均大于0,由于a≥4,如果三数均为正数,显然a+b+c>4≠2,因此不合题意;
②a正,b、c为负,那么此时|a|+|b|+|c|=a-(b+c)=a-(2-a)=2a-2,根据得出的a的取值范围,即可求出|a|+|b|+|c|的最小值.
∵a≥b≥c,若a<0,则b<0,c<0,a+b+c<0,与a+b+c=2矛盾,
∴a>0;
∵b+c=2-a,bc=,
∴b,c是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的两实根,
∴△=(2-a)2-4×≥0,
∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4,
∵abc>0,
∴a,b,c为全大于0或一正二负;①若a,b,c均大于0,
∵a≥4,与a+b+c=2矛盾;
②若a,b,c为一正二负,则a>0,b<0,c<0,
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,
∵a≥4,
故2a-2≥6,
当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使不等式等号成立,
故|a|+|b|+|c|的最小值为6.
故选:B.
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【题目】如图,已知在中,,分别是,的中点,是对角线,交延长线于.若四边形是菱形,则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
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【题目】一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求m的值;
(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(4)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.
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【题目】阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.
解:设 x﹣2=y,则原方程化为:3y2+7y+4=0.
∵a=3,b=7,c=4,∴b2﹣4ac=72﹣4×3×4=1.
∴y= =.∴y1=﹣1,y2=﹣ .
当 y=﹣1 时,x﹣2=﹣1,∴x=1;
当 y=﹣时,x﹣2=﹣,∴x= .
∴原方程的解为:x1=1,x2=.
(1)请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;
(2)若(a2+b2)(a2+b2﹣2)=3,求代数式 a2+b2的值.
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【题目】综合与实践
如图,为等腰直角三角形,,点为斜边的中点,是直角三角形,.保持不动,将沿射线向左平移,平移过程中点始终在射线上,且保持直线于点,直线于点.
(1)如图1,当点与点重合时,与的数量关系是__________.
(2)如图2,当点在线段上时,猜想与有怎样的数量关系与位置关系,并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点在的延长线上时,连接,若,则的长为__________.
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【题目】已知:如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:(1)△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.
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【题目】某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1500名学生,估计爱好运动的学生有 人;
(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛,用频率估计概率,则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则△BDC的周长为( )
A. 8 B. 9 C. 5+ D. 5+
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【题目】如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C、D 在⊙O 上,过 D 点作 PF∥AC交⊙O 于 F,交 AB 于点 E,∠BPF=∠ADC
(1)求证:AEEB=DEEF.
(2)求证:BP 是⊙O 的切线:
(3)当的半径为,AC=2,BE=1 时,求 BP 的长,
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