Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，A（3，0），AC＝3．

（1）求抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标；

（2）点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥AC于Q，直接写出当线段PQ长度最大时，点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（1，﹣4）；（2）t＝时，PQ的长最大，此时P点坐标为（，﹣）．

【解析】

（1）先利用勾股定理得到OC＝3，则C（0，﹣3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；再把一般式化为顶点式得到抛物线顶点坐标；

（2）作PG∥y轴交AC于G，如图，设P（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），易得直线AC的解析式为y＝x﹣3，则G（t，t﹣3），所以PG＝t2+3t＝﹣（t）2，再证明△PGQ为等腰直角三角形得到PQPG═（t）2，然后根据二次函数的性质解决问题．

（1）∵A（3，0），∴OA＝3，∴OC3，∴C（0，﹣3）；

把A（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）作PG∥y轴交AC于G，如图，设P（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），易得直线AC的解析式为y＝x﹣3，∴G（t，t﹣3），∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t）2．

∵OA＝OC＝3，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OCA＝45°．

∵PG∥OC，∴∠PGC＝45°．

∵PQ⊥AC，∴△PGQ为等腰直角三角形，∴PQPG═（t）2，当t时，PQ的长最大，此时P点坐标为（）．