Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）求证：BC=BE+AE；
（2）探究：若∠A=108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论；
（2）如图2，在BC上取BA′=BA，连接EA′，由∠A=108°，AB=AC，得到∠ABC=∠ACB=36°，根据BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠CBA=18°，通过△ABE≌△A′BE，得到∠BA′E=∠A=108°，证得∠A′EC=∠CA′E，于是得到CE=CA′，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF′}\\{∠F′CE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△BF′E中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BF′E}\\{∠ABE=∠F′BE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△F′BE，
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴BC=BE+EF=BE+AE；

（2）结论：BC=AB+CE=AC+CE，
如图2，在BC上取BA′=BA，连接EA′，
∵∠A=108°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBA=18°，
在△ABE与△A′BE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=A′B}\\{∠ABE=∠A′BE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△A′BE，
∴∠BA′E=∠A=108°，
∴∠EA′C=72°，
∴∠A′EC=72°，
∴∠A′EC=∠CA′E，
∴CE=CA′，
∴BC=BA′+EC=AB+EC=AC+EC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．