Question

【题目】综合与实践 美妙的黄金矩形

阅读理解

在数学上称短边与长边的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRectangle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．

（1）某校团委举办“五四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为__________cm；（精确到0.1cm）

操作发现 利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．

第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在边AD，BC上），然后把纸片展平．

第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．

第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．

（2）在上述操作中，以AB=2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．

（参考计算： =）

拓广探索

（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．

如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）24.7；（2）证明见解析；（3）四边形ABEF是黄金矩形这个结论正确.

【解析】

（1）根据黄金矩形的定义计算即可；

（2）如图2中，连接EG，设CG=C′G=x．由题意 在Rt△EGD和Rt△EGC′中， 解得可得，由此即可证明；

（3）如图4中，四边形ABEF是黄金矩形这个结论正确；设AB=a，则AD=BC=a，求出AB：BE的值即可判断；

解：（1）宽约为40×≈40×0.681≈24.7cm．

故答案为24.7．

（2）如图2中，连接EG，设CG=C′G=x．

∵AB=2，AE=ED=1，

∴

在Rt△EGD和Rt△EGC′中，

解得

∴

∴图3中的矩形HBCG是黄金矩形；

（3）如图4中，四边形ABEF是黄金矩形这个结论正确；

理由：设AB=a，则AD=BC=a，

∵四边形DCEF是正方形．

∴DC=DF=EF=CE=a，

∴

∴

∴矩形ABEF是黄金矩形．