Question

18．（1）如图1，将一块含60°角的三角板的一边BO放在直线MN上，AB边在直线MN的上方，另一块含45°角的三角板的一边OQ在直线MN上，另一边OP在直线MN的下方，现将图1中的三角板PQO绕点O按顺时针方向旋转，当直线MN恰好为∠POQ的平分线时，如图2所示，求∠AOP的度数．
（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OP在∠AOB的内部，请探究∠MOQ与∠POA之间有怎样的熟练关系？并说明理由．
（3）在上述直角三角板从图1旋转至图3位置的过程中，若三角板PQO绕点O按每秒20°的速度旋转，当三角板PQO的OP边或OQ边所在直线的平分∠AOB，求此时三角板绕点O旋转的时间t的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角板PQO的特性结合题意可得出∠POM=45°，在平角MON中可求出∠AOP的度数．
（2）根据角之间的关系，可用∠POA表示出∠MOQ的度数，
（3）此题分两种情况，一种OP边所在直线平分∠AOB，另一种OQ边所在直线平分∠AOB，找出两种情况下三角板PQO绕点O旋转的度数，即可求出时间t．

解答 解：（1）∵直线MN平分∠POQ，∠POQ=90°，
∴∠POM=45°，
又∵∠AOB=60°且∠MOB为平角，
∴∠POA=180°-∠POM-∠AOB=180°-45°-60°=75°，
故∠AOP的度数为75°．
（2）在三角板PQO中，∠POQ=90°-∠POA，根据题意可得：
∠MOQ=180°-60°-∠POQ=180°-60°-（90°-∠POA），
整理得：∠MOQ=∠POA+30°，
故∠MOQ与∠POA之间的关系为：∠MOQ=∠POA+30°．
（3）根据题意可知，分两种情况，
①当OP边所在直线平分∠AOB时，三角板PQO绕点O旋转的度数为360°-90°-$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=60°，
∴时间t=（360°-90°-30°）÷20°=12（秒）．
②当OQ边所在直线平分∠AOB时，三角板PQO绕点O旋转的度数为360°-$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=60°，
∴时间t=（360°-30°）÷20°=16.5（秒）．
综合①②得当OP边所在直线平分∠AOB时旋转时间为12秒，当OQ边所在直线平分∠AOB时旋转时间为16.5秒．

点评 此题考查学生角的运算能力，找对角之间的关系即可解决问题．