Question

抛物线y=ax²（a是常数，a≠0）过点（2，-1），与过点D（0，-1）的直线y=kx+b交于M、N两点（M在N的左边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当k=

3

4

时，点P是直线MN上方的抛物线上一动点，当S_△MNP最大时，求带点P的坐标；
（3）求证：无论k取何值，直线y=1总与以MN为直径的圆相切．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接把已知点的坐标代入到二次函数的解析式即可确定其二次项系数a的值，从而确定二次函数的解析式；
（2）根据直线与抛物线有唯一公共点即可得到联立之后的方程组有唯一解，从而得到有关一元二次方程有两个相等的实数根，从而利用根的判别式求得n的值，从而确定直线的解析式；
（3）取MN的中点E，取AB的中点C，分别过点M、N作直线y=1的垂线，垂足分别为A、B，连EC、MC并延长MC交NB的延长线于点H，首先得到AMC≌△BHC，然后设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），得到y₁=-

1

4

x₁²，y₂=-

1

4

x₂²，利用勾股定理得到MA=MD和NB=ND，从而得到MN=MA+NB=2CE，最后根据CE∥NB∥AM得到CE⊥直线y=1，从而得到无论K取何值，直线y=1总与以MN为直径的圆相切．

解答：（1）解：把（2，-1）代入得：4a=-1
解得：a=-

1

4

，
∴所求抛物线解析式为：y=-

1

4

x²；

（2）解：过P点作直线m∥MN
则k_m=

3

4

，设直线m的解析式为：y=

3

4

x+n，
当直线m与抛物线y=-

1

4

x²相切时，S_△MNP最大，
即：

y=- 1 4 x2 y= 3 4 x+n

有唯一解
则：方程-

1

4

x²=

3

4

x+n有两个相等的实数根，
∴x²+3x+4n=0 有两个相等的实数根
∴△=9-16n=0，
∴n=

9

16

，
则x₁=x₂=-

3

2

，
∴P点坐标为：（-

3

2

，-

9

16

），

（3）如图2，取MN的中点E，取AB的中点C，分别过点M、N作直线y=1的垂线，垂足分别为A、B，连EC、MC并延长MC交NB的延长线于点H
∴MA∥NB
∠MAB=∠ABH=90°，∠AMC=∠BHC，AC=BC
∴△AMC≌△BHC
∴AM=BH，MC=HC
在△MHN中
∵MC=HC
ME=EN
∴CE∥BN且CE=

1

2

NH=

1

2

（AM+BN），
设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
则y₁=-

1

4

x₁²，y₂=-

1

4

x₂²，
∴MA=1+

1

4

x₁²，NB=1+

1

4

x₂²，
过M作MG⊥y轴于G
在Rt△MDG中由勾股定理得
MD²=MG²+DG²，
=x₁²+（-1+

1

4

x₂²）²，
=1+

1

2

x₁²+

1

16

x₁⁴
=（1+

1

4

x₁²）²
=MA²
∴MA=MD，
同理NB=ND，
∴MN=MA+NB=2CE，
∵CE∥NB∥AM，
∴∠MAB=∠ECB=90°，
∴CE⊥直线Y=1
∴d=r
∴无论K取何值，直线y=1总与以MN为直径的圆相切．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还涉及到了待定系数法、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．