Question

【题目】在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t为常数且t＞0），将x＜﹣t的部分沿直线y＝y1翻折，翻折后的图象记为G1；将x＞t的部分沿直线y＝y2翻折，翻折后的图象记为G2，将G1和G2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G．

例如：如图，当t＝1时，原函数y＝x，图象G所对应的函数关系式为y＝．

（1）当t＝时，原函数为y＝x+1，图象G与坐标轴的交点坐标是　 ．

（2）当t＝时，原函数为y＝x2﹣2x

①图象G所对应的函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 ．

②图象G所对应的函数是否有最大值，如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．

（3）对应函数y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n为常数）．

①n＝﹣1时，若图象G与直线y＝2恰好有两个交点，求t的取值范围．

②当t＝2时，若图象G在n2﹣2≤x≤n2﹣1上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）①﹣≤x≤1或x≥；②图象G所对应的函数有最大值为；（3）①；②n≤或n≥．

【解析】

（1）根据题意分别求出翻转之后部分的表达式及自变量的取值范围，将y=0代入，求出x值，即可求出图象G与坐标轴的交点坐标；

（2）画出函数草图，求出翻转点和函数顶点的坐标，①根据图象的增减性可求出y随x的增大而减小时，x的取值范围，②根据图象很容易计算出函数最大值；

（3）①将n＝﹣1代入到函数中求出原函数的表达式，计算y=2时，x的值.据（2）中的图象，函数与y=2恰好有两个交点时t大于右边交点的横坐标且-t大于左边交点的横坐标，据此求解.

②画出函数草图，分别计算函数左边的翻转点A，右边的翻转点C，函数的顶点B的横坐标（可用含n的代数式表示），根据函数草图以及题意列出关于n的不等式求解即可.

（1）当x＝时，y＝，

当x≥时，翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+b，将点（，）坐标代入上式并解得：

翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+2，

当y＝0时，x＝2，即函数与x轴交点坐标为：（2，0）；

同理沿x＝﹣翻折后当时函数的表达式为：y＝﹣x，

函数与x轴交点坐标为：（0，0），因为所以舍去.

故答案为：（2，0）；

（2）当t＝时，由函数为y＝x2﹣2x构建的新函数G的图象，如下图所示：

点A、B分别是t＝﹣、t＝的两个翻折点，点C是抛物线原顶点，

则点A、B、C的横坐标分别为﹣、1、，

①函数值y随x的增大而减小时，﹣≤x≤1或x≥，

故答案为：﹣≤x≤1或x≥；

②函数在点A处取得最大值，

x＝﹣，y＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝，

答：图象G所对应的函数有最大值为；

（3）n＝﹣1时，y＝x2+2x﹣2，

①参考（2）中的图象知：

当y＝2时，y＝x2+2x﹣2＝2，

解得：x＝﹣1±，

若图象G与直线y＝2恰好有两个交点，则t＞﹣1且-t>,

所以；

②函数的对称轴为：x＝n，

令y＝x2﹣2nx+n2﹣3＝0，则x＝n±，

当t＝2时，点A、B、C的横坐标分别为：﹣2，n，2，

当x＝n在y轴左侧时，（n≤0），

此时原函数与x轴的交点坐标（n+，0）在x＝2的左侧，如下图所示，

则函数在AB段和点C右侧，

故：﹣2≤x≤n，即：在﹣2≤n2﹣2≤x≤n2﹣1≤n，

解得：n≤；

当x＝n在y轴右侧时，（n≥0），

同理可得：n≥；

综上：n≤或n≥．