Question

【题目】我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．

（1）如图（1），试说明中线AD平分△ABC的面积；
（2）如图（2），请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；
（3）解：在图（2）中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；
（4）如图（3），若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AD是中线，

∴BD=CD，

∴S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，

∴S△ABD=S△ADC，

∴中线AD平分△ABC的面积．

（2）

解：结论：S四边形ABCO= S四边形ABCD．

如图2中，

理由：由（1）知，S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，

∴

∴S四边形ABCO= S四边形ABCD．

（3）

如图2中，设AE交OC于F．

∵OE∥AC，

∴S△AOE=S△COE，

∴S△AOF=S△CEF，

又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，

∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．

（4）

解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，

又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

【解析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．由S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，因为BD=CD，所以S△ABD=S△ADC；（2）利用（1）中结论可以证明S四边形ABCO= S四边形ABCD；（3）设AE交OC于F．由OE∥AC，推出S△AOE=S△COE ， 推出S△AOF=S△CEF ， 又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；（4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG ． 设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE ， 又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”；