Question

7．阅读材料：
材料一：对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足$\frac{kx}{3}$为整数，则称k是x的一个“整商系数”．
例如：x=2时，k=3⇒$\frac{3×2}{3}$=2，则3是2的一个整商系数；
x=2时，k=12⇒$\frac{12×2}{3}$=8，则12也是2的一个整商系数；
x=$\frac{1}{2}$时，k=6⇒$\frac{6×（\frac{1}{2}）}{3}$=1，则6是$\frac{1}{2}$的一个整商系数；
结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x），例如k（2）=$\frac{3}{2}$
材料二：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，两根x₁，x₂有如下关系：
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；x₁x₂=$\frac{c}{a}$
应用：
（1）k（$\frac{3}{2}$）=2 k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$
（2）若实数a（a＜0）满足k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），求a的取值范围？
（3）若关于x的方程：x²+bx+4=0的两个根分别为x₁、x₂，且满足k（x₁）+k（x₂）=9，则b的值为多少？

Answer 1

分析 （1）求出最小的个整商系数即可．
（2）根据k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$）分类讨论列出不等式解不等式即可．
（3）利用根与系数关系把k（x₁）+k（x₂）=9，转化为含有b的方程，记得分类讨论即可．

解答 解：（1）k（$\frac{3}{2}$）=2，k（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{6}{5}$．
故答案分别为2，$\frac{6}{5}$．
（2）∵k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），
当-1＜a＜0时，原式化为$-\frac{3}{2}a$＞3（a+1）
∴a＜-$\frac{2}{3}$，即-1＜a＜-$\frac{2}{3}$，
当a＜-1时，原式化为$-\frac{3}{2}a$＞-3（a+1）
解得a＞-2，
故可知a的取值范围为-2＜a＜-1或-1＜a＜-$\frac{2}{3}$．
（3）设方程的两个根有x₁＜x₂，
由于x₁x₂=$\frac{c}{a}=4$，故x₁与x₂同号．
当x₂＜0时，k（x₁）+k（x₂）=-$\frac{3}{{x}_{1}}-\frac{3}{{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3b}{4}=9$，
解得b=12．
当x₁＞0时，k（x₁）+k（x₂）=$\frac{3}{{x}_{1}}+\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-3b}{4}=9$，
解得b=-12．
综上b=±12．

点评 本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，根据整商系数的定义解决问题，学会用转化的思想把问题转化为方程或不等式，题中也体现了分类讨论的数学思想．