Question

7．如图，过点C（0，3）的直线交抛物线y=x²于A、B两点，若S_△AOB=6，求点A、B的坐标．

Answer 1

分析 设直线AB的解析式为y=kx+3，然后与抛物线联立求解关于x的一元二次方程，再根据S_△AOB=6列出方程求解得到k的值，从而得解．

解答 解：如图，

过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵直线AB过点C（0，3），
∴设直线AB的解析式为y=kx+3，
∵直线交抛物线y=x²于A、B两点，
∴kx+3=x²，
解得：x₁=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$，x₂=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$，
∴点A坐标为（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$，$\frac{{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+12}+6}{2}$），点B坐标为（$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$，$\frac{{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+12}+6}{2}$）
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$+$\frac{1}{2}$×3×[-（$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+12}}{2}$）]=6，
解得：k=±2，
∵y=kx+3，k＞0，
∴k=2，
∴点A坐标为（3，9）点B坐标为（-1，1）．

点评 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求出两交点A、B的交点坐标，再利用三角形的面积列出方程是解题的关键．