Question

4．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE=$\sqrt{3}$cm，AC=2$\sqrt{13}$cm，求DC的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线判定推出即可；
（2）首先求得线段AO的长，然后证△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）∵OE⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$cm，
在Rt△AOE中，AO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=4cm，
由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，
∴△AOE∽△ACD，
∴$\frac{OE}{DC}=\frac{AO}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{DC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}$，
∴DC=$\frac{\sqrt{39}}{2}$cm．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．