Question

13．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A₁B₁C₁D₁；顺次连结四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，可得四边形A₂B₂C₂D₂；顺次连结四边形A₂B₂C₂D₂各边中点，可得四边形A₃B₃C₃D₃；按此规律继续下去…，则四边形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面积是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．

Answer 1

分析 首先利用已知数据求出菱形ABCD的面积，易得四边形A₂B₂C₂D₂的面积等于矩形A₁B₁C₁D₁的面积的$\frac{1}{2}$，同理可得四边形A₃B₃C₃D₃的面积等于四边形A₂B₂C₂D₂的面积$\frac{1}{2}$，那么等于矩形A₁B₁C₁D₁的面积的（$\frac{1}{2}$）²，同理可得四边形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面积．

解答 解：如图，连接AC、BD．则AC⊥BD．
∵菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=1×1×sin60°=$\sqrt{3}$
∵顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A₁B₁C₁D₁，
易证四边形A₁B₁C₁D₁ 是矩形，
S_{矩形A1B1C1D1}=$\frac{1}{2}$C•$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$AC•BD=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD．
同理，S四边形A2B2C2D2=$\frac{1}{2}$S矩形A1B1C1D1=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，
S矩形A3B3C3D3=（$\frac{1}{2}$）³S_菱形ABCD．
四边形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的面积是=$\frac{1}{{2}^{2017}}$S_菱形ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．

点评 本题考查了菱形以及中点四边形的性质．找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解决本题的关键．