Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P(x，y)的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．

(1)已知M(p，2p)在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；

(2)已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；

(3)若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1，3) 或（-3，-1）；（3）2018≤t≤2019

【解析】

(1)由题意得|p|+|2p|＝3，则p＝±1，故M(1，2)或(﹣1，﹣2)，即可求解；

(2)设点A的坐标为(m，n)，因为A是直线y＝x+2上一点．且[A]＝4，则有，分情况讨论即可求解；

(3) 由题意得方程组只有一组实数解，进而求出4a＝(b﹣1)2，原方程可化为(b﹣1)x2+4(b﹣1)x+4＝0，则x1＝x2＝，故C(，)，而且2≤[C]≤4，即可得1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3（舍去），然后根据t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣(b﹣1)2+2020＝b2+2b+2019＝(b+1)2+2018，即可求解．

解：(1)由题意得|p|+|2p|＝3，

∴p＝±1，

∴M(1，2)或(﹣1，﹣2)，

∴k＝xy＝2，

∴反比例函数的解析式为；

(2)设点A坐标为(m，n)，

∵点A是直线y＝x+2上一点．且[A]＝4，则有，

∵点A在第一、二、三象限，

∴①当A在第一象限时，m＞0，n＞0，|m|＝m，|n|＝n，

此时，，解得；

②当A在第二象限时，m＜0，n＞0，|m|＝﹣m，|n|＝n，

此时，，无解；

③当A在第三象限时，m＜0，n＜0，|m|＝﹣m，|n|＝﹣n，

此时，，解得；

∴点A坐标为(1，3)或（-3，-1）；

(3)由题意得，方程组只有一组实数解，

消去y得ax2+(b﹣1)x+1＝0，则＝0，

∴(b﹣1)2﹣4a＝0，

∴4a＝(b﹣1)2，

∴原方程可化为(b﹣1)x2+4(b﹣1)x+4＝0，

∴x1＝x2＝，

∴C(，)，

∵2≤[C]≤4，

∴1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，

解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3，

∵点C在第一象限，

∴﹣1≤b≤0，

∵t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣(b﹣1)2+2020＝b2+2b+2019＝(b+1)2+2018，

∴2018≤t≤2019．