Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4π﹣8

【解析】

(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF得证；

(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

(1)证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

又AB＝AC，

∴D是BC的中点，

连接OD，

由中位线定理，知DO∥AC，

又DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

(2)连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，

∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，

∴∠BAC＝45°，

∵OA＝OE，

∴∠AOE＝90°，

∵⊙O的半径为4，

∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，

∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，

故答案为4π﹣8．