Question

用反证法证明：
（1）△ABC中至多只能有一个角是直角；
（2）在同一个圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．

Answer 1

考点：反证法

专题：

分析：（1）设三角形ABC中有2个或3个直角，根据三角形内角和定理即可证明；
（2）首先从结论的反面出发进而假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．

解答：证明：（1）设三角形ABC中有2个或3个直角，则三角形的三个内角的和一定大于180°，则与三角形的三个内角的和是180度相矛盾，则△ABC中至多只能有一个是直角；
（2）假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，
设圆心为O，弦AB≠弦CD，
设AB中点为M，CD中点为N，
则OM⊥AB，ON⊥CD，且OM=ON，
根据弦长性质，AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
由勾股定理可知：OA²=AM²+OM²=

1

4

AB²+OM²，
OC²=CN²+ON²=

1

4

CD²+ON²
∵OA=OC=半径，
∴

1

4

AB²+OM²=

1

4

CD²+ON²
又∵OM=ON，则

1

4

AB²=

1

4

CD²，
即AB=CD，与假设AB≠CD矛盾，假设不成立，
故在同一个圆中，如果两条弦不等，它们的弦心距不等．

点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．