Question

已知，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若∠ACB=90°．设⊙O的半径为r，BC=a，AC=b，AB=c．给出如下结论：
①r=（

a十b一c

2

）；
②r=（

ab

a十b十c

）；
③AC-AE=BC-BE；
④S_△ABC=AE•BE
其中正确结论的序号是

 

．（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：如图，作辅助线，根据切线长定理及三角形的面积公式，可以逐步判断①②③④均成立．

解答：解：如图，连接OA、OB、OC；连接OD、OE、OF；
∵⊙O内切于直角△ABC，
∴AE=AF、BD=BE、CD=CF；OD⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB；
∴AC-AE=BC-BE，
即③成立；
∵∠ACB=90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD=CF=r，
∴2r=a+b-c，
∴r=

a+b-c

2

，
故①成立；
∵S△ABC=

1

2

BC•AC，S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

ab=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br，
∴r=

ab

a+b+c

，故②成立；
设AE=λ，BE=μ；
∵

1

2

ab=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br，
∴ab=cr+br+ar，
即（λ+r）（μ+r）=（λ+μ）r+（λ+r）r+（μ+r）r，
整理得：λμ=λr+μr+r²；
易知：S_AFOE=2S_△AOE=λr，
S_BDOE=2S_△BOE=μr，SODCF=r2，
∴λμ=S_△ABC，
故④成立．
故答案为①②③④．

点评：该命题主要考查了直角三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断或解答．