Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(a+2)2+=0，过C作CB⊥x轴于B．

(1)求三角形ABC的面积；

(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；

(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).

【解析】

（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A、点B和点C的坐标，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）如图甲所示：过E作EF∥AC．首先依据平行线的性质可知∠ODB=∠6，∠CAB=∠5，接下来，依据平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依据平行线的性质可得到∠1=∠3，∠2=∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3= ∠CAB，∠4=∠ODB，最后，依据∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4求解即可；
（3）①当P在y轴正半轴上时，设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，然后，用含t的式子表示出AN，CM的长，然后依据S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列出关于t的方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，如图丙分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，设点P（0，t），然后用含t的式子表示出AN、CM的长，最后，依据S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列方程求解即可．

解：(1)∵(a+2)2+=0，

∴a+2=0，b-2=0，

∴a=-2，b=2，

∵CB⊥AB，

∴A(-2，0)，B(2，0)，C(2，2)，

∴△ABC的面积=×2×4=4；

(2)∵CB//y轴，BD//AC，

∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，

过E作EF//AC，如图①

∵BD//AC，

∴BD//AC//EF，

∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，

∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，

∴∠AED=∠1+∠2=(∠CAB+∠ODB)=45°

(3)①当P在y轴正半轴上时，如图②，

设P(0，t)，过P作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，

∵S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4，

∴-t-(t-2)=4，

解得：t=3，

②当P在y轴负半轴上时，如图③，设P(0，t)，过P作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，

∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，

∴ +t-(2-t)=4,

解得：t= -1,

∴P(0，-1)或(0，3).

故答案为(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).