Question

7．若关于x的方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根x₁、x₂，则x₁（x₂+x₁）+x₂²的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据判别式的意义得到m≤$\frac{2}{3}$，再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-2m，x₁x₂=m²+3m-2，所以x₁（x₂+x₁）+x${\;}_{2}^{2}$=（x₂+x₁）²-x₁x₂=3m²-3m+2，利用配方法得到原式=3（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，然后利用非负数的性质可判断x₁（x₂+x₁）+x${\;}_{2}^{2}$的最小值为$\frac{5}{4}$．

解答 解：根据题意得△=4m²-4（m²+3m-2）≥0，解得m≤$\frac{2}{3}$
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=m²+3m-2，
x₁（x₂+x₁）+x${\;}_{2}^{2}$=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=4m²-（m²+3m-2）
=3m²-3m+2
=3（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
所以m=$\frac{1}{2}$时，x₁（x₂+x₁）+x${\;}_{2}^{2}$有最小值，最小值为$\frac{5}{4}$．
故选D．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也可考查了非负数的性质．