Question

10．两个等腰直角△ABC和△DEF，AC=BC，AC⊥BC，DE⊥DF，DE=DF．
（1）如图①，点C与D重合时，求证：AF=BE，AF⊥BE．
（2）如图②当B点与F点重合时，连AE、CD相交于点P，将△CBD绕C点顺时针旋转90°，画出图形，并探究AE与CD之间数关系，并证明．
（3）在图②中，若∠CBE=15°，AC=4，DE=3，则AE=$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理证明△ACF≌△BCE，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBA=∠DFE=45°，根据相似三角形的判定定理证明△CBD∽△ABE，根据相似三角形的性质解答；
（3）作EH⊥AB于H，根据锐角三角函数的定义求出BH、AH的长，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：延长AF交BE于H，
∵AC⊥BC，DE⊥DF，
∴∠ACB=∠FDE=90°，
∴∠ACB-∠FCB=∠FDE-∠FCB，即∠ACF=∠BDE，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=DB}\\{∠ACF=∠BDE}\\{CF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，∠CAF=∠DBE，又∠ACB=90°，
∴∠AHB=90°，即AF⊥BE；
（2）将△CBD绕C点顺时针旋转90°的图形如图2，
AE=$\sqrt{2}$CD．
理由如下：∵AC=BC，AC⊥BC，DE⊥DF，DE=DF，
∴∠CBA=∠DFE=45°，
∴∠CBA+∠CBE=∠DFE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，又$\frac{DB}{BE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△CBD∽△ABE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$CD；
（3）如图③，作EH⊥AB于H，
∵∠ABC=45°，∠CBE=15°，
∴∠EBH=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴AH=AB-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
故答案为：$\sqrt{26}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理和判定定理、理解旋转变换的性质是解题的关键．