Question

15．已知：如图，E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC．
（1）求证：∠ABE=∠C；
（2）求∠BAE的平分线AF交BE于点F，FD∥BC交AC于点D，设AB=8，AC=10，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；
（2）由FD与BC平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD，由AC-AD求出DC的长即可．

解答 （1）证明：在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB，
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠BAC，
∴∠ABE=∠C；
（2）解：∵FD∥BC，
∴∠ADF=∠C，
又∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AF=AF}\\{∠BAF=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB=AD，
∵AB=8，AC=10，
∴DC=AC-AD=10-8=2．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．