Question

10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，若⊙O的半径是2，求TC及AC²．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质求出∠BAT=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理求出TC的长；作CD⊥AT于D，根据平行线分线段成比例定理求出CD、AD的长，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵∠ABT=45°，AT=AB，
∴∠ATB=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
∴AT是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径是2，
∴AT=AB=4，
∵∠OAT=90°，
∴OT=$\sqrt{A{T}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴TC=OT-OC=2$\sqrt{5}$-2，
作CD⊥AT于D，
则AO∥CD，
∴$\frac{CD}{AO}$=$\frac{TC}{TO}$=$\frac{TD}{TA}$，即$\frac{CD}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4-AD}{4}$，
解得，CD=$\frac{10-2\sqrt{5}}{5}$，AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得，AC²=CD²+AD²=$\frac{40-8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是切线的判定和平行线分线段成比例定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．