Question

5．过直线l外一点P用直尺和圆规作直线l的垂线的方法是：以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，交直线l于点A、B；分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB长为半径画弧，两弧交于点C．连结PC，则PC⊥AB．
请根据上述作图方法，用数学表达式补充完整下面的已知条件，并给出证明．
已知：如图，点P、C在直线l的两侧，点A、B在直线l上，且PA=PB，AC=BC．
求证：PC⊥AB．

Answer 1

分析 首先根据作图过程可得PA=PB，AC=BC，再根据线段垂直平分线的判定可得PA=PAB，则P在AB的垂直平分线上，由AC=BC，可得C在AB的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得PC是AB的垂直平分线．

解答 已知：如图，点P、C在直线l的两侧，点A、B在直线l上，且 PA=PB，AC=BC，
证明：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
∴PC是AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB．

点评 此题主要考查了线段垂直平分线的判定，以及已知直线的垂线的做法，关键是掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．