Question

16．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a²+b²，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a²+b²，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a²+b²=（a+b）²-2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a²b²②a²-b²③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$中，属于对称式的是①③（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）=x²+mx+n．
①若$m=-2，\;n=\frac{1}{2}$，求对称式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值；
②若n=-4，直接写出对称式$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b=-2，ab=$\frac{1}{2}$，再变形得到$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$，再利用完全平方公式变形得到（a+b）²-2ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{{a}^{2}{b}^{2}}$，所以原式═$\frac{17}{16}$m²+$\frac{17}{2}$，然后根据非负数的性质可确定$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值．

解答 解：（1）式子①a²b²②a²-b²③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x²+（a+b）x+ab=x²+mx+n
∴a+b=m，ab=n．
①a+b=-2，ab=$\frac{1}{2}$，
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{{2}^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=6；
②$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$
=（a+b）²-2ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{{a}^{2}{b}^{2}}$
=m²+8+$\frac{{m}^{2}+8}{16}$
=$\frac{17}{16}$m²+$\frac{17}{2}$，
∵$\frac{17}{16}$m²≥0，
∴$\frac{{{a^4}+1}}{a^2}+\frac{{{b^4}+1}}{b^2}$的最小值为$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．