Question

8．已知：如图，等腰△ABC，AB=AC，点D为△ABC的BC边上一点，连接AD，将线段AD旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若∠BAC=∠DAE=90°，EC=3，CD=1，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠CAE=∠BAD，AE=AD，根据SAS推出全等即可；
（2）根据全等求出BD，求出BC，根据勾股定理求出AC即可．

解答 （1）证明：根据旋转得出AE=AD，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AE=AD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ABD（SAS）；

（2）解：∵△ACE≌△ABD，EC=3，
∴BD=EC=3，
∵CD=1，
∴BC=3+1=4，
∵∠CAB=90°，AC=AB，
∴2AC²=BC²=4²=16，
∴AC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ACE≌△ABD是解此题的关键．