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【题目】在平面直角坐标系xOy中,正方形A1B1C1OA2B2C2C1A3B3C3C2,…,按如图的方式放置.点A1A2A3,…,An和点C1C2C3,…,Cn分别落在直线yx+1和x轴上.抛物线L1过点A1B1,且顶点在直线yx+1上,抛物线L2过点A2B2,且顶点在直线yx+1上,…,按此规律,抛物线Ln过点AnBn,且顶点也在直线yx+1上,其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1,抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2,…,抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn(其中n≥2且n为正整数).

(1)直接写出下列点的坐标:B1________,B2________,B3________;

(2)写出抛物线L2L3的解析式,并写出其中一个解析式求解过程,再猜想抛物线Ln的顶点坐标

(3)设A1D1=k1·D1B1A2D2=k2·D2B2,试判断k1与k2的数量关系并说明理由.

【答案】(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).(2)( );(3)k1k2

【解析】试题解析:1)由直线解析式可求得A1的坐标,由正方形的性质则可求得B1坐标,由题意可求得A2的横坐标,则可求得其纵坐标,再利用正方形的性质可求得B2的坐标,同理可求得B3的坐标;

2)由对称性可求得抛物线的对称轴,则可求得其顶点坐标,再结合已知点的坐标可求得抛物线解析式,可写出L2L3的解析式;利用AnBn的变化规律,可求得抛物线Ln的顶点坐标;

3)由抛物线L2的解析式可求得A1D1的长,则可求得k1,同理可求得k2,从而可求得两者之间的数量关系.

试题解析:解:

1A1在直线y=x+1上,A1的坐标为(01),A1B1=OA1=1B111),A2横坐标为1,且在直线y=x+1上,A212),A2B2=A2C1=2B232),同理B374),故答案为:(11);(32);(74);

2)抛物线L2L3的解析式分别为y=x22+3y=x52+6

抛物线L2的解析式的求解过程如下:

对于直线y=x+1,设x=0,可得y=1A101),四边形A1B1C1O是正方形,C110),又点A2在直线y=x+1上,可得点A212),又B2的坐标为(32),抛物线L2的对称轴为直线x=2抛物线L2的顶点为(23),设抛物线L2的解析式为:y=ax﹣22+3L2过点B232),2=a×3﹣22+3,解得a=﹣1抛物线L2的解析式为y=﹣x﹣22+3

猜想抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n2﹣13×2n2).

证明如下:

由正方形AnBnCnCn1顶点AnBn的坐标规律为An2n112n1)与Bn2n12n1),抛物线Ln的对称轴为直线x= =3×2n21,又顶点在直线y=x+1上,y=3×2n2抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n213×2n2);

3k1k2的数量关系为k1=k2

理由如下:

由(2)得L2的解析式为y=x22+3,当y=1时,1=x22+3,解得x1= x2= 0A1D11x=A1D1== D1B1=1= A1D1= D1B1,即k1=

同理可求得A2D2= =D2B2=242 =2 2=2),A2D2=D2B2,即k2=k1=k2

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