Question

【题目】（定义）函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”

（感悟）根据你的阅读理解回答问题：

（1）点P （2，1）的“坐标差”为　 　；（直接写出答案）

（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；

（应用）（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）4；（3）m＝或m＝

【解析】

（1）根据定义直接计算即可．

（2）由坐标差的定义得到坐标差的函数解析式．然后根据一次函数的最值出特征值即可．

（3）设B点坐标为（0，c），由点A与点B的“坐标差”相等，可得A点坐标为（﹣c，0），代入解析可得c+b＝1，再由该函数图象的“坐标差”函数解析式，由特征值求出b，c．即可得二次函数y＝﹣x2+3x﹣2，由函数图象对称轴位置分三种情况讨论函数的最大值即可求出m的值．

解：（1）点P （2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，

故答案为：﹣1．

（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，

函数 y＝x+1是增函数，

当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，

∴一次函数 y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．

（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，

∴点B（0，c）

点A与点B的“坐标差”相等，

∴点A （﹣c，0），

∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，

∵bc≠0，

∴c+b＝1，

∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1

即函数 y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1

∴

解得 b＝3，

∴c＝﹣2

∴y＝﹣x2+3x﹣2，

∴．

∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，

Ⅰ．若m≤≤m+3时，则x＝时，函数的最大值为，

依题意得：﹣2m＝，

解得m＝；

Ⅱ．若m＞时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，

依题意得：：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，

解得：m＝＜（舍去），m＝，

Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．

依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．

综上所述：m＝或m＝．