【题目】(定义)函数图象上的任意一点P(x,y),y﹣x称为该点的“坐标差”,函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”
(感悟)根据你的阅读理解回答问题:
(1)点P (2,1)的“坐标差”为 ;(直接写出答案)
(2)求一次函数y=2x+1(﹣2≤x≤3)的“特征值”;
(应用)(3)二次函数y=﹣x2+bx+c(bc≠0)交x轴于点A,交y轴于点B,点A与点B的“坐标差”相等,若此二次函数的“特征值”为﹣1,当m≤x≤m+3时,此函数的最大值为﹣2m,求m.
【答案】(1)-1;(2)4;(3)m=或m=
【解析】
(1)根据定义直接计算即可.
(2)由坐标差的定义得到坐标差的函数解析式.然后根据一次函数的最值出特征值即可.
(3)设B点坐标为(0,c),由点A与点B的“坐标差”相等,可得A点坐标为(﹣c,0),代入解析可得c+b=1,再由该函数图象的“坐标差”函数解析式,由特征值求出b,c.即可得二次函数y=﹣x2+3x﹣2,由函数图象对称轴位置分三种情况讨论函数的最大值即可求出m的值.
解:(1)点P (2,1)的“坐标差”=1﹣2=﹣1,
故答案为:﹣1.
(2)一次函数y=2x+1的图象上点的坐标差为:y﹣x=2x+1﹣x=x+1,
函数 y=x+1是增函数,
当﹣2≤x≤3时,x=3,y的最大值=4,
∴一次函数 y=2x+1(﹣2≤x≤3)的“特征值”:4.
(3)y=﹣x2+bx+c(bc≠0)交y轴于点B,
∴点B(0,c)
点A与点B的“坐标差”相等,
∴点A (﹣c,0),
∴﹣(﹣c)2+b(﹣c)+c=0,
∵bc≠0,
∴c+b=1,
∵y=﹣x2+bx+c(bc≠0)“特征值”为﹣1
即函数 y=﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+(b﹣1)x+(1﹣b)的最大值为﹣1
∴
解得 b=3,
∴c=﹣2
∴y=﹣x2+3x﹣2,
∴.
∴当m≤x≤m+3时,此函数的最大值为﹣2m,
Ⅰ.若m≤≤m+3时,则x=
时,函数的最大值为
,
依题意得:﹣2m=,
解得m=;
Ⅱ.若m>时,x=m,函数取最大值为:y=﹣m2+3m﹣2,
依题意得::﹣m2+3m﹣2=﹣2m,
解得:m=<
(舍去),m=
,
Ⅲ.若m+3<,即m<﹣
时,x=m+3,函数取最大值为:y=﹣(m+3)2+3(m+3)﹣2=﹣m2﹣3m﹣2.
依题意得:﹣m2﹣3m﹣2=﹣2m,此方程无实数解.
综上所述:m=或m=
.
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【题目】如图,矩形中,
为原点,点
在
轴上,点
在
轴上,点
的坐标为(4,3),抛物线
与
轴交于点
,与直线
交于点
,与
轴交于
两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点从点
出发,在线段
上以每秒1个单位长度的速度向点
运动,与此同时,点
从点
出发,在线段
上以每秒
个单位长度的速度向点
运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.连接
,设运动时间为
(秒).
①当为何值时,
得面积最小?
②是否存在某一时刻,使
为直角三角形?若存在,直接写出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】从﹣2,﹣1,0,,1,2这六个数字中,随机抽取一个数记为a,则使得关于x的方程
=1的解为非负数,且满足关于x的不等式组
只有三个整数解的概率是__.
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【题目】石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“十一”国庆节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)设每件童装降价x元时,每天可销售______ 件,每件盈利______ 元;(用x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时,平均每天赢利1200元.
(3)要想平均每天赢利2000元,可能吗?请说明理由.
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【题目】某校其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表:
吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上,但他知道下面三条信息:
信息一:这三个班的捐款总金额是7700元;
信息二:二班的捐款金额比三班的捐款金额多300元;
信息三:三班学生平均每人捐款的金额大于49元,小于50元.
请根据以上信息,帮助吴老师解决下列问题:
(1)求出二班与三班的捐款金额各是多少元;
(2)求出三班的学生人数.
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【题目】已知:正方形绕点
顺时针旋转至正方形
,连接
.
(1)如图,求证:;
(2)如图,延长交
于
,延长
交
于
,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图中的四个角,使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣2x2+(m+9)x﹣6的对称轴是x=2.
(1)求抛物线表达式和顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线与原抛物线相交于点A,求点A的坐标;
(3)抛物线y=﹣2x2+(m+9)x﹣6与y轴交于点C,点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B,两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分(包含点A、B、C)记为图象M.将直线y=2x﹣2向下平移b(b>0)个单位,在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点,请你写出b的取值范围 .
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【题目】如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=4cm,BC=6cm,点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点G的运动速度为2cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:s).
(1)若点F的运动速度为2 cm/s.
①当t=______s时,四边形EBFB′为正方形;
②若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
(2)若存在实数t,使得点B′与点O重合,求出t的值;并求出点F的运动速度.
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【题目】建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?
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