【题目】在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,若△ABD是等腰直角三角形,则线段CD的长为_____.
【答案】或或
【解析】
分(1)AB=BD,(2)AB=AD,(3)AD=BD三种情况,根据勾股定理分别计算CD的值即可.
解:(1)当AB=BD时,作DE⊥BE,
∵∠CAB+∠ABC=90°,∠ABC+∠DBE=90°,
∴∠CAB=∠DBE,
在△BED和△ACB中,
,
∴△BED≌△ACB(AAS),
∴BE=AC=4,DE=BC=2,
∴CD==;
(2)如图所示,当AB=AD时,作DE⊥AE,∵∠CAB+∠ABC=90°,∠BAC+∠DAE=90°,
∴∠ABC=∠DAE,
在△DEA和△ACB中,
,
∴△DEA≌△ACB(AAS),
∴DE=AC=4,AE=BC=2,
∴CD==;
(3)如图所示,当AD=BD时,作DE⊥AC,DF⊥CB延长线于F,∵∠ADE+∠BDE=90°,∠BDF+∠BDE=90°,
∴∠ADE=∠BDF,
在△ADE和△BDF中,
,
∴△ADE≌△BDF(AAS),
∴AE=BF,
∴AC+BC=AE+CE+CF﹣BF=2CE.
∴CE=3,
∴CD=.
综上所述,CD的长是或或,
故答案为:或或.
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【题目】如图,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形,AN与MB交于P.
(1)求证:AN=BM;
(2)连接CP,求证:CP平分∠APB.
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【题目】如图,直线y=-x-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线AB相切时,点P的坐标是_______.
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【题目】如图,△ABC与△CDE为等腰直角三角形,∠BAC=∠DEC=90°,连接AD,取AD中点P,连接BP,并延长到点M,使BP=PM,连接AM、EM、AE,将△CDE绕点C顺时针旋转.
(1)如图①,当点D在BC上,E在AC上时,AE与AM的数量关系是______,∠MAE=______;
(2)将△CDE绕点C顺时针旋转到如图②所示的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)若CD=BC,将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α(0°<α<360°),当ME=CD时,请直接写出α的值.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,⊙C与AB相切于点D,延长AC到点E,使CE=AC,连接EB.过点E作BE的垂线,交⊙C于点P、Q,交BA的延长线于点F.
(1)求AD的长;
(2)求证:EB与⊙C相切;
(3)求线段PQ的长.
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【题目】综合与探究
如图,抛物线y=a经过点A、B、C且点C坐标为(0,2).
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
(3)点H在线段AC上,若OH最短时,在x轴上找一点N,使△CHN周长最小时,求点N的坐标
(4)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)证明:EF2=4ODOP;
(2)若tan∠AFP=,求的值.
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【题目】钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说:“我们需要重视防护,但也不必恐慌,尽量少去人员密集的场所,出门戴口罩,在室内注意通风,勤洗手,多运动,少熬夜.”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解,通过微信群宣传新型冠状病毒 肺炎的防护知识,并鼓励社区居民在线参与作答《2020 年新型冠状病毒防治全国统一考试 (全国卷)》试卷(满分 100 分),社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取 20 名人员的 答卷成绩,并对他们的成绩(单位:分)进行统计、分析,过程如下:
收集数据
甲小区:85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区:80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
60≤x≤70 | 70<x≤80 | 80<x≤90 | 90<x≤100 | |
甲小区 | 2 | 5 | 8 | 5 |
乙小区 | 3 | 7 | 5 | 5 |
分析数据
平均数 | 中位数 | 众数 | |
甲小区 | 85.75 | 87.5 | a |
乙小区 | 83.5 | b | 80 |
应用数据
(1)填空:a = ,b =___,
(2)若甲小区共有 800 人参与答卷,请估计甲小区成绩大于 90 分的人数为_____________.
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【题目】名闻遐迩的采花毛尖明前茶,成本每厅400元,某茶场今年春天试营销,每周的销售量y(斤)是销售单价x(元/斤)的一次函数,且满足如下关系:
x(元/斤) | 450 | 500 | 600 |
y(斤) | 350 | 300 | 200 |
(1)请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式;
(2)若销售每斤茶叶获利不能超过40%,该茶场每周获利不少于30000元,试确定销售单价x的取值范围.
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