【题目】如图,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形,AN与MB交于P.
(1)求证:AN=BM;
(2)连接CP,求证:CP平分∠APB.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由“SAS”可证△ACN≌△MCB,可得AN=BM;
(2)过点C作CE⊥AN于点E,作CF⊥BM于点F,由全等三角形的性质可得S△ACN=S△MCB,由三角形的面积相等,可得CE=CF,由角平分线的性质定理的逆定理,即可得结论.
(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形,
∴AC=CM,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,
∴∠ACN=∠BCM=120°,且AC=CM,CN=CB,
∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM;
(2)过点C作CE⊥AN于点E,作CF⊥BM于点F,
∵△ACN≌△MCB,
∴S△ACN=S△MCB,
∴×AN×CE=×BM×CF,且AN=BM,
∴CE=CF,且CE⊥AN,CF⊥BM,
∴CP平分∠APB.
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【题目】如图抛物线y=ax2+ax+c(a≠0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(﹣1,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;
(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将△CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?请指出并证明你的结论.
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【题目】小元步行从家去火车站,走到 6 分钟时,以同样的速度回家取物品,然后从家乘出租车赶往火车站,结果比预计步行时间提前了3 分钟.小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图,从家到火车站路程是( )
A.1300 米B.1400 米C.1600 米D.1500 米
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()
A.50°B.60°C.70°D.80°
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【题目】已知,如图1,抛物线过三点,顶点为点,连接,点为抛物线对称轴上一点,连接,直线过点两点.
(1)求抛物线及直线的函数解析式;
(2)求的最小值;
(3)求证:∽;
(4)如图2,若点是在抛物线上且位于第一象限内的一动点,请直接写出面积的最大值及此时点的坐标.
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【题目】清清从家步行到公交车站台,等公交车去学校.下公交车后又步行了一段路程才到学校. 图中的折线表示清清的行程s(米)与所花时间t (分)之间的函数关系. 下列说法错误的是( )
A. 清清等公交车时间为3分钟 B. 清清步行的速度是80米/分
C. 公交车的速度是500米/分 D. 清清全程的平均速度为290米/分
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于A点,与y轴正半轴交于B,直线AB的解析式为y=﹣x+3.
(1)求抛物线解析式;
(2)P为线段OA上一点(不与O、A重合),过P作PQ⊥x轴交抛物线于Q,连接AQ,M为AQ中点,连接PM,过M作MN⊥PM交直线AB于N,若点P的横坐标为t,点N的横坐标为n,求n与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,连接QN并延长交y轴于E,连接AE,求t为何值时,MN∥AE.
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【题目】我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”,例如:如图,四边形是“等对角四边形”,,,,则.
(1)已知:在“等对角四边形”中,,,,,求对角线的长;
(2)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形是“等对角四边形”,其中,,,点在轴上,抛物线过点、,点在抛物线上,满足的点至少有3个时,总有不等式成立,求的取值范围.
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