Question

【题目】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．

（1）若点N是线段MB的中点，如图1．

①依题意补全图1；

②求DP的长；

（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）①补全的图形如图1所示，见解析；②；（2）

【解析】

（1）利用平移的性质画出图形，再利用相似得出比例，即可求出线段DP的长．

（2）根据条件MQ=DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决．

（1）①如图1，补全图形

②连接AD，如图1．

在Rt△ABN中，

∵∠B=90°，AB=4，BN=1，

∴AN=

∵线段AN平移得到线段DM，

∴DM=AN=，

AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP．

∴

∴DP=；

（2）连接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN=DM．

∵MQ=DP，

∴PQ=DM．

∴AN∥PQ，且AN=PQ．

∴四边形ANQP是平行四边形．

∴NQ∥AP．

∴∠BQN=∠BAC=45°．

又∵∠NBQ=∠ABC=90°，

∴BN=BQ．

∵AN∥MQ，

∴．

又∵M是BC的中点，且AB=BC=4，

∴．

∴NB＝2（负数舍去）．

∴ME＝BN＝2．

∴CE＝22