Question

【题目】如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC．以下五个结论：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC ; ③△APC≌△BOC; ④△DPC≌△EQC;⑤ ∠AOB＝60°．

其中正确的是（ ）

A. ①②③④⑤ B. ①④⑤ C. ①④D. ①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据角的和差求出∠ACD＝∠BCE，结合等边三角形的性质利用SAS可证明△ACD≌△BCE，①正确；求出∠BCQ=60°，可得∠ACO≠∠BCQ，故②错误；同理可得∠ACP≠∠BCO，故③错误；首先证明△CQB≌△CPA，得到CP=CQ，即可证明△DPC≌△EQC，④正确；根据∠CBE＝∠DAC利用三角形外角的性质可求出∠AOB＝60°，⑤正确．

解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），①正确；

∵∠BCQ=180°－60°－60°=60°，∠ACO=60°+∠BCO，

∴∠ACO≠∠BCQ，

∴△AOC≌△BQC错误，②错误；

∵∠ACP=60°，∠BCO=60°-∠OCQ，

∴∠ACP≠∠BCO，

∴△APC≌△BOC错误，③错误；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠DAC，

又∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC，

∴△CQB≌△CPA，

∴CP=CQ，

又∵∠PCD＝∠QCE＝60°，CD=CE，

∴△DPC≌△EQC，④正确；

∵∠CBE＝∠DAC，∠CBE+∠AEB=180°-120°=60°，

∴∠AOB=∠DAC+∠AEB=∠CBE+∠AEB=60°，⑤正确，

故选：B.