Question

【题目】已知CA＝CB，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线．E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．

（1）若直线CD在∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　 　CF；EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA数量关系的条件　 　，使①中的两个结论仍然成立，补全图形并证明．

（2）如图3，若直线CD在∠BCA的外部，∠BCA＝α，请用等式直接写出EF，BE，AF三条线段的数量关系　 　．（不要求证明）

Answer 1

【答案】（1）①=，=；②α+∠BCA＝180°，补全图形和证明见解析；（2）EF＝BE+AF

【解析】

（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，

∴∠CBE＝∠ACF，

∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，EF＝|CF﹣CE|＝||BE﹣AF；

故答案为：＝、＝；

②α+∠BCA＝180°，补全图形如下：

在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，

∵∠BCA＝180°﹣α，

∴∠BCA＝∠CBE+∠BCE，

又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，

∴∠CBE＝∠ACF，

又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

又∵EF＝CE﹣CF，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案为：α+∠BCA＝180°．

（2）EF＝BE+AF，

如图3，

∵∠BEC＝∠CFA＝α，α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF．

又∵BC＝CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，EC＝FA，

∴EF＝EC+CF＝BE+AF．

故答案为：EF＝BE+AF．